Een rationale functie is een vergelijking in de vorm y = N(x)/D(x) waarbij N en D polynomen zijn. Pogingen om met de hand een nauwkeurige grafiek van een grafiek te schetsen, kunnen een uitgebreid overzicht zijn van veel van de belangrijkste wiskundeonderwerpen op de middelbare school, van elementaire algebra tot differentiaalrekening. Beschouw het volgende voorbeeld: y = (2 x 2 - 6x + 5)/(4x + 2).
Stappen
Stap 1. Zoek het y-snijpunt
Stel eenvoudig x = 0 in. Alles behalve de constante termen verdwijnen, waardoor y = 5/2. Dit uitdrukken als een coördinatenpaar (0, 5/2) is een punt op de grafiek. Maak een grafiek van dat punt.
Stap 2. Zoek de horizontale asymptoot
Verdeel de noemer lang in de teller om het gedrag van y voor grote absolute waarden van x te bepalen. In dit voorbeeld laat de deling zien dat y = (1/2) x - (7/4) + 17/(8 x + 4). Voor grote positieve of negatieve waarden van x, benadert 17/(8 x + 4) nul, en de grafiek benadert de lijn y = (1/2) x - (7/4). Gebruik een gestippelde of licht getekende lijn om deze lijn te tekenen.
- Als de graad van de teller kleiner is dan de graad van de noemer, hoeft er niet te worden gedeeld en is de asymptoot y = 0.
- Als deg(N) = deg(D), is de asymptoot een horizontale lijn in de verhouding van de leidende coëfficiënten.
- Als deg(N) = deg(D) + 1, is de asymptoot een lijn waarvan de helling de verhouding is van de leidende coëfficiënten.
- Als deg(N) > deg(D) + 1, dan voor grote waarden van | x |, y gaat snel naar positief of negatief oneindig als een kwadratische, kubieke of hogere graad polynoom. In dit geval is het waarschijnlijk niet de moeite waard om het quotiënt van de deling nauwkeurig te plotten.
Stap 3. Zoek de nullen
Een rationale functie heeft een nul als de teller nul is, dus stel N(x) = 0 in. In het voorbeeld is 2 x 2 - 6 x + 5 = 0. De discriminant van deze kwadratische is b 2 - 4 ac = 62 - 4*2*5 = 36 - 40 = -4. Aangezien de discriminant negatief is, heeft N(x), en bijgevolg f(x), geen echte wortels. De grafiek kruist nooit de x -as. Als er nullen zijn gevonden, voegt u die punten toe aan de grafiek.
Stap 4. Zoek de verticale asymptoten
Een verticale asymptoot treedt op wanneer de noemer nul is. Instelling 4 x + 2 = 0 geeft de verticale lijn x = -1/2. Teken elke verticale asymptoot met een lichte of stippellijn. Als een waarde van x zowel N(x) = 0 als D(x) = 0 maakt, kan daar al dan niet een verticale asymptoot zijn. Dit is zeldzaam, maar bekijk de tips voor hoe ermee om te gaan als het zich voordoet.
Stap 5. Bekijk de rest van de deling in stap 2
Wanneer is het positief, negatief of nul? In het voorbeeld is de teller van de rest 17, wat altijd positief is. De noemer, 4 x + 2, is positief rechts van de verticale asymptoot en negatief links. Dit betekent dat de grafiek de lineaire asymptoot van boven nadert voor grote positieve waarden van x en van onderaf voor grote negatieve waarden van x. Aangezien 17/(8 x + 4) nooit nul kan zijn, snijdt deze grafiek nooit de lijn y = (1/2) x - (7/4). Voeg nu niets toe aan de grafiek, maar noteer deze conclusies voor later.
Stap 6. Zoek de lokale extrema
Een lokaal extremum kan optreden wanneer N'(x)D(x)- N(x)D'(x) = 0. In het voorbeeld, N'(x) = 4 x - 6 en D'(x) = 4 N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = (4 x - 6)(4 x + 2) - (2 x 2 - 6 x + 5)*4 = 0. Uitbreiden, termen combineren en delen door 4 bladeren x 2 + x - 4 = 0. De kwadratische formule toont wortels nabij x = 3/2 en x = -5/2. (Deze verschillen ongeveer 0,06 van de exacte waarden, maar onze grafiek zal niet nauwkeurig genoeg zijn om ons zorgen te maken over dat detailniveau. Het kiezen van een behoorlijke rationele benadering maakt de volgende stap gemakkelijker.)
Stap 7. Zoek de y-waarden van elk lokaal extremum
Steek de x -waarden van de vorige stap terug in de oorspronkelijke rationale functie om de corresponderende y -waarden te vinden. In het voorbeeld is f(3/2) = 1/16 en f(-5/2) = -65/16. Voeg deze punten (3/2, 1/16) en (-5/2, -65/16) toe aan de grafiek. Omdat we het in de vorige stap hebben benaderd, zijn dit niet de exacte minima en maxima, maar komen ze waarschijnlijk in de buurt. (We weten dat (3/2, 1/16) heel dicht bij het lokale minimum ligt. Vanaf stap 3 weten we dat y altijd positief is als x > -1/2 en we vonden een waarde zo klein als 1/16, dus in dit geval is de fout waarschijnlijk minder dan de dikte van de lijn.)
Stap 8. Verbind de punten en breid de grafiek soepel uit van de bekende punten naar de asymptoten en zorg ervoor dat u ze vanuit de juiste richting nadert
Zorg ervoor dat u de x -as niet kruist behalve op de punten die al gevonden zijn in stap 3. Kruis de horizontale of lineaire asymptoot niet behalve op de punten die al gevonden zijn in stap 5. Verander niet van opwaarts hellend naar neerwaarts hellend behalve bij het uiterste gevonden in de vorige stap.
Video - Door deze service te gebruiken, kan bepaalde informatie worden gedeeld met YouTube
Tips
- Sommige van deze stappen kunnen het oplossen van een polynoom van hoge graad inhouden. Als je geen exacte oplossingen kunt vinden door middel van factorisatie, formules of andere middelen, schat dan de oplossingen met behulp van numerieke technieken zoals de methode van Newton.
- Als u de stappen op volgorde volgt, is het meestal niet nodig om tweede afgeleide tests of vergelijkbare potentieel gecompliceerde methoden te gebruiken om te bepalen of de kritieke waarden lokale maxima, lokale minima of geen van beide zijn. Probeer eerst de informatie uit de vorige stappen te gebruiken en een beetje logica.
- Als u dit probeert te doen met alleen precalculusmethoden, kunt u de stappen voor het vinden van de lokale extrema vervangen door verschillende extra (x, y) geordende paren tussen elk paar asymptoten te berekenen. Als alternatief, als het je niet uitmaakt waarom het werkt, is er geen reden waarom een precalculus-student de afgeleide van een polynoom niet kan nemen en N'(x)D(x) - N(x)D'(x) = kan oplossen 0.
-
In zeldzame gevallen kunnen de teller en noemer een gemeenschappelijke niet-constante factor hebben. Als u de stappen volgt, wordt dit weergegeven als een nul en een verticale asymptoot op dezelfde plaats. Dat is onmogelijk en wat er feitelijk gebeurt is een van de volgende zaken:
- De nul in de N(x) heeft een hogere multipliciteit dan de nul in D(x). De grafiek van f (x) nadert nul op dit punt, maar is daar niet gedefinieerd. Geef dit aan met een open cirkel om het punt.
- De nul in de N(x) en de nul in D(x) hebben een gelijke veelvoud. De grafiek nadert een niet-nulpunt voor deze waarde van x, maar is daar niet gedefinieerd. Geef dit weer aan met een open cirkel.
- De nul in de N(x) heeft een lagere multipliciteit dan de nul in D(x). Er is hier een verticale asymptoot.
