Een parabool is een grafiek van een kwadratische functie en het is een vloeiende "U"-vormige curve. Parabolen zijn ook symmetrisch, wat betekent dat ze langs een lijn kunnen worden gevouwen, zodat alle punten aan de ene kant van de vouwlijn samenvallen met de corresponderende punten aan de andere kant van de vouwlijn. De vouwlijn, de symmetrieas genoemd, is de verticale lijn die door de verex gaat. Elk punt op de parabool ligt op gelijke afstand van een vast punt (het brandpunt) en een vaste rechte lijn (de richtlijn). Om een parabool in een grafiek te tekenen, moet je het hoekpunt vinden, evenals verschillende punten aan weerszijden van het hoekpunt om het pad te markeren dat de punten afleggen.
Stappen
Deel 1 van 2: Een parabool tekenen
Stap 1. Begrijp de onderdelen van een parabool
Mogelijk krijgt u bepaalde informatie voordat u begint, en als u de terminologie kent, kunt u onnodige stappen vermijden. Dit zijn de delen van de parabool die u moet weten:
- De focus. Een vast punt aan de binnenkant van de parabool dat wordt gebruikt voor de formele definitie van de kromme.
- De richtlijn. Een vaste, rechte lijn. De parabool is de meetkundige plaats (reeks) van punten waarin een bepaald punt zich op gelijke afstand van het brandpunt en de richtlijn bevindt. (Zie het diagram hierboven.)
- De as van symmetrie. Dit is een rechte lijn die door het keerpunt ("vertex") van de parabool gaat en op gelijke afstand ligt van overeenkomstige punten op de twee armen van de parabool.
- Het hoekpunt. Het punt waar de symmetrieas de parabool kruist, wordt het hoekpunt van de parabool genoemd. Als de parabool naar boven of naar rechts opent, is het hoekpunt een minimumpunt van de kromme. Als het naar beneden of naar links opent, is het hoekpunt een maximumpunt.
Stap 2. Ken de vergelijking van een parabool
De algemene vergelijking van een parabool is y = ax2+ bx + c. Het kan ook worden geschreven in de nog algemenere vorm y = a(x – h)² + k, maar we zullen ons hier concentreren op de eerste vorm van de vergelijking.
- Als de coëfficiënt a in de vergelijking positief is, opent de parabool naar boven (in een verticaal georiënteerde parabool), zoals de letter "U", en is het hoekpunt een minimumpunt. Als de a negatief is, opent de parabool naar beneden en heeft een hoekpunt op zijn maximale punt. Als je dit moeilijk kunt onthouden, zie het dan als volgt: een vergelijking met een positieve a-waarde ziet eruit als een glimlach; een vergelijking met een negatieve a-waarde ziet eruit als een frons.
- Laten we zeggen dat je de volgende vergelijking hebt: y = 2x2 -1. Deze parabool krijgt de vorm van een "U" omdat de a-waarde (2) positief is.
- Als de vergelijking een kwadratische y-term heeft in plaats van een kwadratische x-term, zal de parabool horizontaal georiënteerd zijn en zijwaarts openen, naar rechts of links, zoals een "C" of een achterwaartse "C." Bijvoorbeeld, de parabool y2 = x + 3 opent naar rechts, als een "C."
Stap 3. Zoek de symmetrieas
Onthoud dat de symmetrie-as de rechte lijn is die door het keerpunt (vertex) van de parabool gaat. In het geval van een verticale parabool (naar boven of beneden openend), is de as gelijk aan de x-coördinaat van het hoekpunt, wat de x-waarde is van het punt waar de symmetrie-as de parabool kruist. Gebruik deze formule om de symmetrie-as te vinden: x = -b/2a.
- In het bovenstaande voorbeeld (y = 2x² -1), a = 2 en b = 0. Nu kun je de symmetrie-as berekenen door de getallen in te vullen: x = -0 / (2)(2) = 0.
- In dit geval is de symmetrie-as x = 0 (wat de y-as van het coördinatenvlak is).
Stap 4. Zoek het hoekpunt
Zodra u de symmetrie-as kent, kunt u die waarde invoeren voor x om de y-coördinaat te krijgen. Deze twee coördinaten geven je het hoekpunt van de parabool. In dit geval zou u 0 aansluiten op 2x2 -1 om de y-coördinaat te krijgen. y = 2 x 02 -1 = 0 -1 = -1. Het hoekpunt is (0, -1), en de parabool kruist de y-as bij -1.
De coördinaten van het hoekpunt zijn soms bekend als (h, k). In dit geval is h 0 en is k -1. De vergelijking voor de parabool kan worden geschreven in de vorm y = a(x – h)² + k. In deze vorm is het hoekpunt het punt (h, k), en je hoeft geen wiskunde te doen om het hoekpunt te vinden, afgezien van het correct interpreteren van de grafiek
Stap 5. Zet een tabel op met de gekozen waarden van x
Maak een tabel met bepaalde waarden van x in de eerste kolom. Deze tabel geeft je de coördinaten die je nodig hebt om de vergelijking in een grafiek uit te tekenen.
- De middelste waarde van x moet de symmetrie-as zijn in het geval van een "verticale" parabool.
- U moet omwille van de symmetrie ten minste twee waarden boven en onder de middelste waarde voor x in de tabel opnemen.
- Zet in dit voorbeeld de waarde van de symmetrie-as (x = 0) in het midden van de tabel.
Stap 6. Bereken de waarden van de corresponderende y-coördinaten
Vervang elke waarde van x in de vergelijking van de parabool en bereken de overeenkomstige waarden van y. Voeg deze berekende waarden van y in de tabel in. In dit voorbeeld worden de waarden van y als volgt berekend:
- Voor x = -2 wordt y berekend als: y = (2) (-2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
- Voor x = -1 wordt y berekend als: y = (2) (-1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Voor x = 0 wordt y berekend als: y = (2) (0)2 - 1 = 0 - 1 = -1
- Voor x = 1 wordt y berekend als: y = (2) (1)2 - 1 = 2 - 1 = 1
- Voor x = 2 wordt y berekend als: y = (2) (2)2 - 1 = 8 - 1 = 7
Stap 7. Voeg de berekende waarden van y in de tabel in
Nu je ten minste vijf coördinatenparen voor de parabool hebt gevonden, ben je bijna klaar om er een grafiek van te maken. Op basis van je werk heb je nu de volgende punten: (-2, 7), (-1, 1), (0, -1), (1, 1), (2, 7). Bedenk dat de parabool wordt gereflecteerd (symmetrisch) ten opzichte van de symmetrie-as. Dit betekent dat de y-coördinaten van punten direct over de symmetrieas van elkaar hetzelfde zullen zijn. De y-coördinaten voor de x-coördinaten -2 en +2 zijn beide 7; de y-coördinaten voor de x-coördinaten -1 en +1 zijn beide 1, enzovoort.
Stap 8. Teken de tabelpunten op het coördinatenvlak
Elke rij van de tabel vormt een coördinatenpaar (x, y) op het coördinatenvlak. Maak een grafiek van alle punten met behulp van de coördinaten in de tabel.
- De x-as is horizontaal; de y-as is verticaal.
- De positieve getallen op de y-as staan boven het punt (0, 0) en de negatieve getallen op de y-as staan onder het punt (0, 0).
- De positieve getallen op de x-as staan rechts van het punt (0, 0) en de negatieve getallen op de x-as staan links van het punt (0, 0).
Stap 9. Verbind de punten
Om de parabool in een grafiek uit te tekenen, verbindt u de punten die in de vorige stap zijn uitgezet. De grafiek in dit voorbeeld ziet eruit als een U. Verbind de punten met licht gebogen (in plaats van rechte) lijnen. Dit zorgt voor het meest nauwkeurige beeld van de parabool (die op zijn minst licht gebogen is over de hele lengte). Aan beide uiteinden van de parabool kun je desgewenst pijlen tekenen die van het hoekpunt af wijzen. Dit geeft aan dat de parabool oneindig doorgaat.
Deel 2 van 2: De grafiek van een parabool verschuiven
Als je een kortere weg wilt voor het verschuiven van een parabool zonder dat je het hoekpunt opnieuw hoeft te vinden en er verschillende punten op opnieuw moet tekenen, moet je begrijpen hoe je de vergelijking van een parabool moet lezen en leren hoe je deze verticaal of horizontaal kunt verschuiven. Begin met de basisparabool: y = x2. Dit heeft zijn toppunt op (0, 0) en opent naar boven. Punten erop zijn (-1, 1), (1, 1), (-2, 4) en (2, 4). U kunt een parabool verschuiven op basis van zijn vergelijking.
Stap 1. Schuif een parabool naar boven
Beschouw de vergelijking y = x2 +1. Hierdoor wordt de oorspronkelijke parabool 1 eenheid omhoog geschoven. Het hoekpunt is nu (0, 1) in plaats van (0, 0). Het behoudt de exacte vorm van de originele parabool, maar elke y-coördinaat wordt 1 eenheid naar boven verschoven. Dus in plaats van (-1, 1) en (1, 1), plotten we (-1, 2) en (1, 2).
Stap 2. Verschuif een parabool naar beneden
Neem de vergelijking y = x2 -1. We verschuiven de oorspronkelijke parabool 1 eenheid naar beneden, zodat het hoekpunt nu (0, -1) is in plaats van (0, 0). Het zal nog steeds dezelfde vorm hebben als de originele parabool, maar elke y-coördinaat zal 1 eenheid naar beneden worden verschoven. Dus in plaats van (-1, 1) en (1, 1) plotten we bijvoorbeeld (-1, 0) en (1, 0).
Stap 3. Verschuif een parabool naar links
Beschouw de vergelijking y = (x + 1)2. Hierdoor wordt de oorspronkelijke parabool één eenheid naar links verschoven. Het hoekpunt is nu (-1, 0) in plaats van (0, 0). Het behoudt de vorm van de oorspronkelijke parabool, maar elke x-coördinaat wordt één eenheid naar links verschoven. In plaats van (-1, 1) en (1, 1) plotten we bijvoorbeeld (-2, 1) en (0, 1).
Stap 4. Verschuif een parabool naar rechts
Beschouw de vergelijking y = (x - 1)2. Dit is de originele parabool die een eenheid naar rechts is verschoven. Het hoekpunt is nu (1, 0) in plaats van (0, 0). Het behoudt de vorm van de oorspronkelijke parabool, maar elke x-coördinaat wordt één eenheid naar rechts verschoven. In plaats van (-1, 1) en (1, 1) bijvoorbeeld, plotten we (0, 1) en (2, 1).
